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Rolf's Formelsammlung

Mit Java-Applet um Zahlenbeispiele zu rechnen.

Die Darstellung der gesamten Formelsammlung wurde etwas verbessert. NEW
Falls sich dabei Fehler eingeschlichen haben sollten, bitte sofort melden bevor ich die alte Version lösche.

Anmerkungen:
- Da das Wurzelzeichen in HTML nicht immer korrekt dargestellt werden kann, wird zum Teil noch sqrt() verwendet.
- Statt e^x wird manchmal exp(x) geschrieben.

Rechnen mit Einheiten , magische Zahlen , Griechische Buchstaben
Stichwort-Suche , neue Formeln , Fehlerreport

Physik, Chemie

Mechanik

Geschwindigkeit

v =	ds

	dt

  ds=zurückgelegte Strecke  dt=gebrauchte Zeit  v=Geschwindigkeit

a =	dv

	dt

  dv=Geschwindigkeitsänderung in der Zeit dt    a=Beschleunigung

Beschleunigungskraft

F = a·m

  a = Beschleunigung   m = beschleunigte Masse

Zentripetalkraft (Zentrifugalkraft)

F_z =	m·v²

	r

  m = Masse   v = Geschwindigkeit   r = Rotationsradius
  Zahlenbeispiel

Gravitation (Schwerkraft)

siehe Astronomie->Gravitation

Schwingungsdauer eines Pendels

T = 2

·sqrt(L/g)·R

R = 1 + (1/2)² · sin²(a/2) + (1/2 · 3/4)² · sin⁴(a/2) + ...

R = Korrekturfaktur für grosse Pendelauslenkung
a = Winkel der Maximalauslenkung
L = Pendellänge (Aufhängung bis Schwerpunkt)
g = Erdbeschleunigung

Energie

E = F·s		F=Kraft, s=zurückgelegter Weg (Beispiel: Hubarbeit)
E = m·v²/2		m=Masse, v=Geschwindigkeit
E = m·c²		c=Lichtgeschwindigkeit, m=Masse (z.B. bei Kernreaktion umgesetzte Masse)
E = h·ν		Plancksche Formel
E = U·I·dt		in der Elektronik

  Zahlenbeispiele

Leistung

P = dE/dt
P = U·I	(in der Elektronik)

  dE=umgesetzte Energie
  dt=Zeitdauer

Elektronik

Ohmsches Gesetz, Leistung, Energie

U = R·I		Ohmsches Gesetz
P = U·I		Leistung
E = P·t		Energie

  U=Spannung (Volt)
  R=Widerstand (Ohm 1Ω=1V/1A)
  I=Strom  (Ampere)
  P=Leistung (Watt 1W=1V*1A)
  t=Zeit (Stunden h, oder Sekunden s)
  E=Energie (Wattstunden 1Wh=1W*1h, oder Joule 1J=1W*1s)

Zahlenbeispiele

Wechselstrom

P = U·I·cos(φ)

Q = U·I·sin(φ)

  P=Wirkleistung
  Q=Blindleistung
  S=U·I=Scheinleistung
  φ=phi=Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom
  cos(φ)=P/S (=Wirkungsgrad?)

Barometrische Höhenformel

h = T/k · ln(p₀/p)

p = p₀ · e^{(-k/T · h)}

h =	Höhe ueber Referenzpunkt
p =	aktueller Druck bei Höhe h
p₀ =	aktueller Druck bei Referenzpunkt (z.B. Meereshöhe)
T =	Temperatur in Grad Kelvin
k =	Konstante nach folgender Formel:

k =	r₀·T₀·g	= 0.03417 (für trockne Luft)

	p₀₀

T₀ =	Normaltemperatur (273 K)
p₀₀ =	Normaldruck (1013mbar) (durchschnittlicher Druck auf Meereshöhe)
r₀ =	Dichte der Luft bei T₀ und p₀₀
g =	Erdbeschleunigung (9.80665 m/s²)
	Zahlenbeispiel
	Herleitung der Formel

Relativitätstheorie

Lorentztransformation

Wenn zwei Koordinatensysteme K(x,y,z) und K'(x',y',z') sich gegeneinander mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Achse bewegen gilt:

t' =	β·(t - v/c² · x)
x' =	β·(x - v·t)
y' =	y
z' =	z

  t  = Zeit gemessen in K
  t' = Zeit gemessen in K'

β =	1

	√(1-(v/c)²)

  c = Lichtgeschwindigkeit

Optik, Spektroskopie

Plancksche Formel

E = h·ν = h·c/

  h = Plancksche Konstante (Wirkungsquantum)
  ν = Frequenz (Anzahl Wellen pro Sekunde)
  λ = Wellenlänge
  c = Lichtgeschwindigkeit
  E = Energie eines Photons (Lichtquants)

Zahlenwertgleichung: E = 0.002857· $\nutilde$

$\nutilde$	= Wellenzahl in cm^-1 (Anzahl Wellen pro Zentimeter)
E	= Energie in kcal/mol
	Zahlenbeispiele

Schwarzkörperstrahlung

E( $\nu$ ) =	2 $\pi$ h $\nu$ ⁵	·	1

	c³		e^h/kT - 1

  k = Boltzmann-Konstante
  T = Temperatur in Grad Kelvin
  h, ν, c  gleiche Bedeutungen wie in Plancksche Formel
  Zahlenbeispiel

Refraktometrie (Brechung)

n =	sin(α)	=	c₁	Snelliussches Gesetz

	sin(β)		c₂

n =	Brechungsindex
α =	Einfallswinkel zwischen Lot und Strahl
β =	Ausfallswinkel zwischen Lot und Strahl
c₁ =	Lichtgeschwindigkeit im ersten Medium
c₂ =	Lichtgeschwindigkeit im zweiten Medium
	Zahlenbeispiele

Beer-Lambert Gesetz

OD = ε·c·d = -log(T) = -log(I/I₀)

c = Konzentration in mol/l

d = Schichtdicke in cm

ε = Extinktionskoeffizient in l/(mol*cm)

I = Intensität nach der Probe

I₀ = Intensität vor der Probe

Umrechnung von Druck in Konzentration

c = 0.0160·P/T

Zahlenwertgleichung für ein ideales Gas


  c = Konzentration in mol/l
  P = Druck in Torr
  T = Temperatur in Grad Kelvin
  Zahlenbeispiele

Absorptionsquerschnitt (Absorption Cross Section)

σ·c·d = -ln(I/I₀)

  c = Konzentration in Moleküle/cm³
  d = Schichtdicke in cm
  σ = Absorptionsquerschnitt in cm²/Molekül

Umrechnung von Extinktionskoeffizient in Absorptionsquerschnitt

σ = ε·1000·ln(10)/N_L = ε·3.8235·10^-21

N_L = Loschmidtsche Zahl

Optische Drehung

Optisch aktive Moleküle können linear polarisiertes Licht drehen. Der Drehwinkel ist proportional zur Konzentration und Schichtdicke.

α_D =	α

	L·c

α	=	gemessener Winkel
L	=	Schichtdicke in dm
c	=	Konzentration in g/ml
α_D	=	Drehwinkel auf Schichtdicke 1dm und Konzentration 1g/ml normiert
D	=	Natrium-D Linie = 589nm
		(α ist stark Wellenlängenabhängig, sogar das Vorzeichen kann wechseln!)
		(da es auch noch Temperaturabhängig ist, wird diese meist auch mit angegeben [α]^t_D )

IR-Schwingungen

Berechnung der Frequenz einer Streckschwingung. Diese Formel gilt eigentlich nur für zweiatomige Moleküle, aber kann auch als Näherungsformel in grösseren Molekülen verwendet werden.

$\nutilde$ = √(K·(m₁+m₂)/(m₁·m₂)) · 1303cm^-1

$\nutilde$	=	Frequenz in Wellenzahlen
K	=	Kraft zwischen den beiden beteiligten Atomen in mdyn/Angström
		(kann mit etwa 5.5 mdyn/Angström pro Bindung geschätzt werden)
m₁	=	Masse des ersten Atoms
m₂	=	Masse des zweiten Atoms

Verschiebung der Frequenz einer Streckschwingung beim Einsetzen eines Isotops:

ν^# =	√	m₁·(m₁^#+m₂)	· ν

		m₁^#·(m₁+m₂)


  Zahlenbeispiele

Reduzierte Masse:      Damit werden obige Formeln etwas einfacher:

NMR, KernresonanzSpektroskopie

Bei verschiedenen Atomen oder unterschiedlicher chemischer Umgebung werden unterschiedliche Parameter verwendet.
Die beiden Formelvarianten werden oft verwechselt. Parametersätze die im Internet zu finden sind, können also zu der einen oder andern Formel gehören. Manchmal sind auch noch A und C vertauscht.
Umrechnung der Parameter:

A₂ = A₁ + C₁/2	C₂ = C₁/2	B₂=B₁
A₁ = A₂ - C₂	C₁ = 2C₂	B₁=B₂

Einige Parametersätze:

Atome	A₁	B₁	C₁
HCCH	-0.28	-0.5	9.0
HNCH	1.9	-1.4	6.4
HNCH	2.5	-1.2	6.8

Zahlenbeispiele

TMS-Kalibrierung

I_H =	I_TMS·C

	C_TMS·12

C	= Konzentration in mol/l
C_TMS	= TMS-Konzentration in mol/l
I_TMS	= Integral des TMS-Peaks
I_H	= Integralwert für ein H

Wenn die TMS-Konzentration gleich 1 Volumenprozent ist:

I_H = 1.129·I_TMS·C

Viskosität

Wenn wir eine Flüssigkeit durch eine Kapillare laufen lassen gilt:

η = D·G·t

  η = Viskosität
  D = Dichte der Flüssigkeit
  G = Gerätekonstante (Dicke, Länge der Kapillare, durchgeflossene Menge)
  t = Durchflusszeit

Das mittlere Molekulargewicht eines gelösten Polymers ist:

M = (w₀/K)^1/a

w =	η - η₀	~=	t - t₀

	η₀·c		t₀·c

η	=	Viskosität der Lösung
η₀	=	Viskosität des reinen Lösungsmittels
t	=	Durchflusszeit der Lösung
t₀	=	Durchflusszeit des reinen Lösungsmittels
c	=	Konzentration in g/ml
w	=	reduzierte spezifische Viskosität = η_sp/c
w₀	=	Approximierter Wert von w bei c=0
		(Andere Bezeichnungen: [η], Staudingerindex, Grenzviskosität, intrinsic viscosity)
K	=	Konstante die von Molekül und Lösungsmittel abhängig ist
a	=	weitere von Molekül und Lösungsmittel abhängige Konstante

Der zweite Teil der w-Gleichung ist eine Näherung und stimmt nur wenn die Dichte der Lösung nicht stark von der Dichte des reinen Lösungsmittels abweicht (also für kleine Konzentrationen). Um w₀ zu erhalten werden mehrere Messung bei verschiedenen Konzentrationen gemacht, w gegen c aufgetragen, und mit einer Ausgleichsgeraden der Wert bei c=0 ermittelt.
Die empirisch bestimmten Werte a und K sind zum Teil in Tabellen zu finden. a liegt meist zwischen 0.5 und 2.0.
Beispiele:

Substanz	Lösungsmittel	K	a
Polystyrol	CHCl₃	0.0112	0.73
PBLG	DCA	2.78e-3	0.87
PBLG	DCA	1.747e-3	0.886	(eigne Messung)
Polyalanin	DCA	0.364	0.672

Gasgesetz

p·V = n·R·T

  p = Druck in Pascal
  T = Temperatur in Kelvin
  V = Volumen in m³ (1 Kubikmeter = 1000 Liter)
  n = Molzahl (= Anzahl Teilchen / LoschmidtZahl)
  R = Gaskonstante = 8.315 J/mol/K
      (Wenn p in mbar und V in Liter: R=83.15 mbar*l/mol/K)
  Zahlenbeispiele

Thermodynamik

Temperaturskalen

Kelvin:

0 K = absoluter Nullpunkt (Moleküle bewegen sich nicht mehr),
273.16 K = Temperatur beim Tripelpunkt von Wasser.
Beim Tripelpunkt stehen Feste-, Flüssige- und Gasförmige-Phase eines reinen Stoffs im Gleichgewicht. Beim Wasser ist das dann eben bei 0.01^oC und etwa 6.107mbar der Fall. (Man beachte dass das für einen _reinen_ Stoffs gilt, die Luft muss man also abpumpen um den Tripelpunkt zu messen.)

Celsius:

Ursprüngliche Definition: 0^oC = Schmelzpunkt, 100^oC = Siedepunkt von Wasser bei Normaldruck (1bar).
Neue Definition: 0^oC = 273.15 K, Differenzen in Celsius = Differenzen in Kelvin
(da der Tripelpunkt von Wasser als 273.16 definiert wurde ist der Schmelzpunkt von Wasser bei 1bar immer noch ziemlich genau bei 0^oC)

Farenheit:

Ursprüngliche Definition: 100^oF = Körpertemperatur, 0^oF = Temperatur der Ammonium-Wasser-Eis Kältemischung

 F = C*9/5+32
 C = (F-32)*5/9

Zahlenbeispiele Temperatur-Umrechnungen

Wärmemenge

  dQ = dT*k*m

  Q = Wärmemenge (Energiemenge)
 dQ = Änderung der Wärmemenge bei Änderung der Temperatur um dT
      (dabei sollte dT so klein sein dass sich k nicht ändert)
  k = Wärmekapazität (Energiemenge um 1 Gramm um 1 Kelvin zu erwärmen)
      (ist stark Stoffabhängig und wenig Temperaturabhängig)
  m = Masse (in Gramm)

Zahlenbeispiel: die Wärmekapazität von Wasser ist 4.1868 Joule/g. Wieviel Energie braucht man um 1l Wasser von 20^o auf 100^oC zu erwärmen? (k für Wasser ist eigentlich bei 4^oC, stimmt aber auch zwischen 0 und 100^o ziemlich gut)

Entropie

  dS = dQ/T

  S=Entropie
  Q=Wärmemenge

Molekulargewicht

Das Molekulargewicht eines Moleküls wird berechnet indem einfach die Werte der einzelnen Atome addiert werden.
Tips:
Gross/Klein-Schreibung ist wichtig!
Peptide können auch eingegeben werden.
Ohne Schutzgruppe am Anfang muss ein H- mitangegeben werden, ohne Schutzgruppe am Ende brauchts ein -OH. (z.B. H-Ala-OH)
Beispiel: Boc-Ala-Gly-OH sollte 246.263 (246.121) ergeben.
Hier noch eine kleine Dokumentation als Textdatei.
Man kann das Programm auch lokal (unter Linux oder auf Palm) installieren: MG-Rechner

Astronomie

Gravitation (Schwerkraft)

F_g = G ·	m₁·m₂

	r²

G =	Gravitationskonstante (6.67e-11)
m₁, m₂ =	Massen von 2 Körpern (punktförmig oder Kugeln)
r =	Abstand der Schwerpunkte von m₁ und m₂
	Zahlenbeispiele

Drittes Keplersche Gesetz

A³	= k·(m₁+m₂)

T²

A =	Mittlerer Abstand des Planeten zur Sonne
T =	Umlaufzeit
m₁ =	Masse der Sonne
m₂ =	Masse des Planeten (kann im Sonnensystem vernachlässigt werden)
k =	Konstante = G/(4²)
	im Sonnensystem kann man alle Unbekannten gleich 1 setzen,
	also m₁=1 Sonnenmasse, AE=1, T_E=1 Jahr,
	dann wird k=1 und wir können alle Planetendistanzen ausrechnen.
	Zahlenbeispiel

Julianisches Datum (JD)

 JD = Anzahl Tage seit 4713 vor Christus

bis und mit 4.Oktober 1582: B = int((y+4716)/4) - 1181
        ab 15.Oktober 1582: B = int(y/400)-int(y/100)+int(y/4)
(Wegen der Gregoranischen Kalenderreform folgte auf den 4.Okt. sogleich der 15.)

JD = 365·y - 679004 + B + int(30.6·m) + d + h/24 + 2400000.5

MJD = JD - 2400000.5 (Modifiziertes Julianisches Datum)

 h = Tageszeit in Stunden
 d = Tag
 Y = für Jahre vor Christus: Y = -1 - Jahreszahl
     für Jahre nach Christus: Y = Jahreszahl
 wenn Monat<=2 : y = Y-1   m = Monat+13
          sonst: y = Y     m = Monat+1
 int() = Abrundung auf ganze Zahl

 Wer die Formel verstehen will sollte einige Beispiele von Hand ausrechnen.
 Beispiel: 24.Dez. 1 vor Chr. um 20:15
           h=20.25  d=24  Y=0  y=0  m=13  int(30.6*m)=397

Man kann die Formel aber natürlich auch verwenden ohne genau zu verstehen wie sie funktioniert: Zahlenbeispiele

Mathematik

Quadratische Gleichung

Gleichung:		a·x²+b·x+c=0

Lösung:	x =	-b ± sqrt(b²-4·a·c)

		2·a

 Zahlenbeispiel mit Java

Drehungs-Formel

x₂ = cos(w)·x₁ - sin(w)·y₁

y₂ = sin(w)·x₁ + cos(w)·y₁

w =	Drehwinkel
x₂, y₂ =	um w im Gegenuhrzeigersinn gedrehter Punkt
	Zahlenbeispiel mit Java

Gauss-Kurve

Die Gausskurve (auch Glockenkurve genannt) kommt oft in Wahrscheinlichkeitsrechnungen vor.

y = k₁·e^(-k₂·x²) + y₀

Als Normalverteilung (Gauss-Verteilung) wird die Formel auch so geschrieben:

y =	1	exp(	(x-µ)²	)

	·sqrt(2π)		2²

µ =	Erwartungswert
=	Standardabweichung

Bezier- und Spline-Kurven

Eine Bezier-Kurve wird durch 4 Stützpunkte beschrieben.
Rekursive Definition:
 Von den 4 Stützpunkten A B C D bilden A und D die beiden Endpunkte.
 Man kann 2 kleinere Bezierkurven bilden:
 A' = A
 B' = (A+B)/2           also die Mitte zwischen A und B
 C' = (A+2B+C)/4        Mitte zwischen B' und der Mitte von B und C
 D' = (A+3B+3C+D)/8     Mitte zwischen C' und B''
 und
 A'' = D'
 B'' = (B+2C+D)/4       Mitte zwischen C' und der Mitte von B und C
 C'' = (C+D)/2          Mitte zwischen C und D
 D'' = D

 Die Menge aller A und D Punkte ergeben dann die Bezierkurve.

An der Uni-Oldenburg wurden Bezier-Kurven einst ausführlich beschrieben. Leider nicht mehr zu finden. Die dort angegebene Formel ist damit verloren gegangen.

Formeln zu Spline-Kurven sind hier zu finden: B-Spline , B-Spline+andere

Rechnen mit Einheiten

Zeit: s=Sekunde, min=Minute, h=Stunde
Strecke: m=Meter, km=Kilometer (k=Vorsilbe)
Geschwindigkeit: 1 m/s = 3.6 km/h
Beschleunigung: m/s²
Kraft: N = mkg/s²
Energie: J = Ws = m²kg/s²

Energie-Einheit	Symbol	Wert in Joule
Wattsekunde	Ws	1
Kilokalorie	kcal	4186.8
Elektronenvolt	eV	1.602*10^-19
Erg	Erg	10^-7
Kilowattstunde	kWh	3.6*10⁶

Leistung: W = J/s = m²kg/s³

Leistungs-Einheit	Symbol	Wert in Watt
Joule pro sekunde	J/s	1
Kilowatt	kW	1000
Pferdestärke	PS	735.5

Druck: 1 mbar = 100 Pa = 100 N/m²

Druck-Einheit	Symbol	Wert in mbar
Pascal	Pa	0.01
Torr	Torr	1.3329
PSI	PSI	68.93

Vorsilben bei Einheiten

h = hekto = 100 , k = kilo = 1000 , M = Mega = 10⁶ , G = Giga = 10⁹ , T = Tera = 10¹² , P = Peta = 10¹⁵ , E = Exa = 10¹⁸
d = dezi = 0.1 , c = centi = 0.01 , m = milli = 0.001 , µ = micro = 10^-6 , n = nano = 10^-9 , p = pico = 10^-12 , f = femto = 10^-15 , a = atto = 10^-18

Magische Zahlen

Boltzmann-Konstante k=R/N_L=1.38066·10^-23 J/K
Plancksches Wirkungsquantum h=6.626·10^-34 m²kg/s
Lichtgeschwindigkeit c=299'792'458 m/s
Loschmidtsche Zahl N_L=6.02214·10²³ Teilchen/mol (wird auch Avogadrozahl genannt)
Gaskonstante R=8.315 J/mol/K = 83.15 mbar*l/mol/K
Molvolumen v₀=22.4146 l/mol
Erdbeschleunigung g=9.80665 m/s²
Gravitationskonstante G=6.67259·10^-11
Absoluter Nullpunkt: -273.15^oC = 0 K (Kelvin)

Anhang

Stichwort-Suche

Barometer , Beer , Beschleunigung , Brechung
Drehung , Optische Drehung
Einheiten , Energie
Gasgesetz , Gausskurve , Gravitation
Isotop
Karplus
Lambert , Leistung , Luftdruck
Normalverteilung
Pascal , Pendel , Planck
Refraktometrie
Schwarzkörperstrahlung , Schwerkraft , IR-Schwingung , Pendel-Schwingung
Temperatur
Viskosität
Watt

Fehlerreport

Wenn Sie einen Fehler in einer Formel entdeckt haben, senden Sie bitte eine kurze e-mail.

neue Formeln

Wenn Sie eine Formel kennen die hier hinein gehören würde, senden Sie sie mir bitte über e-mail. Wenn möglich als HTML-, LaTeX- oder Text-Datei. Wenn möglich sollte eine Herleitung und/oder eine Quellenangabe dabei sein.

E-MAIL: pfister@pci.unizh.ch

Externe Links: weitere Formelsammlungen , www.formel-sammlung.de
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Last update: 6-Feb-2006 / RPF

J =	{	8.5 cos² - 0.28	0<<90^o
		9.5 cos² - 0.28	90<<180^o